Lo scopo storico dei numeri complessi è quello di risolvere le equazioni del tipo di cui alcune non ne hanno soluzione; ad esempio si prende che non ha soluzione definita in , in quanto tutti i numeri moltiplicati per se stessi due volte sono sempre positivi.
Quindi vi è una necessità di "ampliare" i numeri reali in un modo tale da poter ottenere delle soluzioni di queste equazioni.

Pertanto si parte considerando la l'insieme delle coppie ordinate (Coppie Ordinate e Prodotto CartesianoCoppie Ordinate e Prodotto Cartesiano) Quindi nel contesto geometrico stiamo attualmente considerando dei vettori liberi con punto di applicazione . (Vettori LiberiVettori Liberi)

In Operazioni sui Numeri ComplessiOperazioni sui Numeri Complessi definiremo delle operazioni su questo insieme,, che quando li considereremo con si andrà a formare il campo 𝟚.

DEF 1. Definisco su l'operazione di somma componente per componente: che da ora in poi lo chiamiamo semplicemente .

PROP 1.1. La somma componente per componente gode delle seguenti proprietà:

1. La proprietà associativa;
2. L'esistenza dell'elemento neutro
3. L'esistenza dell'elemento opposto ;
4. La proprietà commutativa

OSS 1.1. Allora in questo caso si definisce come un gruppo abeliano.

Ora l'operazione più "peculiare" sarebbe quella di moltiplicazione, in quanto grazie a questa riusciamo a formare il campo dei numeri complessi .
DEF 2. Sia l'operazione della moltiplicazione, che viene definita come dove e d'ora in poi chiameremo come .

NOTA. Come visto sopra, personalmente (avvolte) userò la notazione per rappresentare la coppia dei numeri ; lo faccio per evitare confusione con le parentesi. Fidatevi, (forse) sarà meglio così (?).

OSS 2.1. Notiamo che questa definizione di moltiplicazione non è quella che ci si aspetta, di solito; infatti volendo si poteva anche definire la moltiplicazione nel seguente modo: Matematicamente questo avrebbe senso, però si vorrebbe che questa moltiplicazione avesse delle proprietà che ritroviamo anche in , in quanto lo scopo di questa costruzione è proprio quella di "espandere" la famiglia dei numeri.
Ad esempio, qui non varrebbe la proprietà per cui è l'elemento nullo. Infatti Quindi per questo bisognava trovare un altra definizione.

TRUCCO PERSONALE. Visto che potrebbe essere difficile imparare questa definizione di moltiplicazione, possiamo "anticipare" un argomento (ovvero Rappresentazione dei Numeri ComplessiRappresentazione dei Numeri Complessi) rappresentando la coppia dove . Per "scoprire" la nostra definizione facciamo il seguente.

PROP 2.1. Si può verificare che questa operazione gode delle proprietà, ovvero:

1. La proprietà associativa;
2. L'esistenza dell'elemento neutro ;
3. L'esistenza dell'elemento reciproco ad ogni elemento non-zero;
   Se ad ogni considero Infatti moltiplicandoli ottengo
4. La proprietà commutativa:
5. La proprietà distributiva: DIMOSTRAZIONI.
6. Per verificare che questa operazione è associativa, dobbiamo dimostrare che il membro destro dell'uguaglianza è uguale al membro sinistro. Ovvero e poi E vediamo che i membri sono esattamente uguali.
7. La proprietà 2. è già stata dimostrata sopra.
8. Stesso valesi per la proprietà 3.
9. Occorre solo sfruttare le proprietà dei numeri reali , ovvero
10. Consideriamo entrambi i membri dell'uguaglianza Sviluppiamo il membro destro: Ora il membro sinistro: E vediamo che entrambi i membri, quando sviluppati, sono uguali; dimostriamo così la tesi.