A. Introduzione

Tutto sui numeri complessi


Introduzione ai Numeri Complessi

Introduzione ai numeri complessi: cenni storici, definizione basilare di come .


0. Scopo storico

Lo scopo storico dei numeri complessi è quello di risolvere le equazioni del tipo di cui alcune non ne hanno soluzione; ad esempio si prende che non ha soluzione definita in , in quanto tutti i numeri moltiplicati per se stessi due volte sono sempre positivi.
Quindi vi è una necessità di "ampliare" i numeri reali in un modo tale da poter ottenere delle soluzioni di queste equazioni.

1. Costruzione a partire da

Pertanto si parte considerando la l'insieme delle coppie ordinate (Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano) Quindi nel contesto geometrico stiamo attualmente considerando dei vettori liberi con punto di applicazione . (Vettori Liberi)

In Operazioni sui Numeri Complessi definiremo delle operazioni su questo insieme,, che quando li considereremo con si andrà a formare il campo 𝟚.

B. Operazioni sui complessi

Operazioni sui Numeri Complessi
Operazioni sui Numeri Complessi

Tutte le operazioni possibili sui numeri complessi: somma componente per componente, moltiplicazione, campo come ; alcune proprietà di queste operazioni. Complesso coniugato e modulo di un numero complesso ; proprietà di queste operazioni, focus sulla disuguaglianza triangolare.


1. Somma componente per componente

DEF 1. Definisco su l'operazione di somma componente per componente: che da ora in poi lo chiamiamo semplicemente .

PROP 1.1. La somma componente per componente gode delle seguenti proprietà:

  1. La proprietà associativa;
  2. L'esistenza dell'elemento neutro
  3. L'esistenza dell'elemento opposto ;
  4. La proprietà commutativa

OSS 1.1. Allora in questo caso si definisce come un gruppo abeliano.

2. Moltiplicazione

Ora l'operazione più "peculiare" sarebbe quella di moltiplicazione, in quanto grazie a questa riusciamo a formare il campo dei numeri complessi .
DEF 2. Sia l'operazione della moltiplicazione, che viene definita come dove e d'ora in poi chiameremo come .

NOTA. Come visto sopra, personalmente (avvolte) userò la notazione per rappresentare la coppia dei numeri ; lo faccio per evitare confusione con le parentesi. Fidatevi, (forse) sarà meglio così (?).

OSS 2.1. Notiamo che questa definizione di moltiplicazione non è quella che ci si aspetta, di solito; infatti volendo si poteva anche definire la moltiplicazione nel seguente modo: Matematicamente questo avrebbe senso, però si vorrebbe che questa moltiplicazione avesse delle proprietà che ritroviamo anche in , in quanto lo scopo di questa costruzione è proprio quella di "espandere" la famiglia dei numeri.
Ad esempio, qui non varrebbe la proprietà per cui è l'elemento nullo. Infatti Quindi per questo bisognava trovare un altra definizione.

TRUCCO PERSONALE. Visto che potrebbe essere difficile imparare questa definizione di moltiplicazione, possiamo "anticipare" un argomento (ovvero Rappresentazione dei Numeri Complessi) rappresentando la coppia dove . Per "scoprire" la nostra definizione facciamo il seguente.

PROP 2.1. Si può verificare che questa operazione gode delle proprietà, ovvero:

  1. La proprietà associativa;
  2. L'esistenza dell'elemento neutro ;
  3. L'esistenza dell'elemento reciproco ad ogni elemento non-zero;
    Se ad ogni considero Infatti moltiplicandoli ottengo
  4. La proprietà commutativa:
  5. La proprietà distributiva: DIMOSTRAZIONI.
  6. Per verificare che questa operazione è associativa, dobbiamo dimostrare che il membro destro dell'uguaglianza è uguale al membro sinistro. Ovvero e poi E vediamo che i membri sono esattamente uguali.
  7. La proprietà 2. è già stata dimostrata sopra.
  8. Stesso valesi per la proprietà 3.
  9. Occorre solo sfruttare le proprietà dei numeri reali , ovvero
  10. Consideriamo entrambi i membri dell'uguaglianza Sviluppiamo il membro destro: Ora il membro sinistro: E vediamo che entrambi i membri, quando sviluppati, sono uguali; dimostriamo così la tesi.

CONCLUSIONE.
Alla luce di queste proprietà riusciamo proprio a verificare che è un campo, che chiameremo il campo dei numeri complessi .

OSS 2.2. Nel campo considero i numeri della seguente forma: ovvero quelli con la seconda componente nulla. Graficamente, questi punti giacciono sull'asse orizzontale, che chiameremo l'asse reale.
Pasted image 20231017225646.png
Allora notiamo che valgono le seguenti: nel senso che questi numeri si comportano come i numeri reali .

OSS 2.3. Inoltre, considerando ovvero che si comporta come lo scalare che scala un numero componente per componente.

3. Coniugio

DEF 3. Sia un numero e lo rappresentiamo come (Rappresentazione dei Numeri Complessi). Allora definisco il numero complesso coniugato come DEF 3.1. Chiamo coniugio la funzione dove

PROP 3.1. Questa funzione ha delle proprietà; presentiamo la prima.
Graficamente,
Pasted image 20231022151340.png
DIMOSTRAZIONE. Analiticamente è possibile dimostrare la tesi nel modo seguente.

PROP 3.2. DIMOSTRAZIONE. Analogamente, e sviluppando otteniamo l'identità che è esattamente uguale all'espressione ottenuta prima; pertanto si considera la tesi vera.

PROP 3.3. PROP 3.4. Sia , allora

4. Modulo

Se prendiamo il piano di Argand-Gauss (Rappresentazione dei Numeri Complessi) possiamo vedere dei punti nel piano, allora si potrebbe "misurare" la distanza di questo punto dall'origine .

DEF 4. Allora definiamo la il modulo di come la distanza dall'origine; ovvero se , allora usando il teorema di Pitagora il modulo diventa .
DEF 4.1. Allora definisco la funzione ;

OSS 4.1. Notiamo che se , ovvero se , allora Da nota che a sinistra si ha il modulo di , invece a destra si ha il valore assoluto (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto, DEF 3.1.) della parte reale di .

Ora presentiamo alcune proprietà del modulo.
PROP 4.1. Per definizione, PROP 4.2.
Geometricamente, questo corrisponde al fatto che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è sempre più lungo o uguale ad uno dei cateti.

PROP 4.3. in quanto

PROP 4.4. DIMOSTRAZIONE. Supponendo che , , allora e sviluppando si ha quindi dimostrando così che

PROP 4.5. DIMOSTRAZIONE. Supponendo che , allora OSS 4.5.a. Questa proprietà è utile per trovare l'inversa di ; infatti allora concludo che

PROP 4.7. La disuguaglianza triangolare.
Infine presentiamo la proprietà fondamentale del modulo. Che è simbolicamente simile alla disuguaglianza triangolare del valore assoluto (OSS 3.1.1.)
Però in questo contesto (ovvero del campo ) la proprietà è ancora più geometricamente suggestiva; infatti usando il Piano di Argand-Gauss (Rappresentazione dei Numeri Complessi), si ha:
Pasted image 20231022151409.png
Ovvero che la somma della lunghezza due cateti di un triangolo rettangolo è sempre più lunga della lunghezza dell'ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE.
Considero i seguenti: siano ; allora A questo punto mi ricordo che allora

C. Rappresentazione algebrica dei C

Rappresentazione dei Numeri Complessi
Rappresentazione dei Numeri Complessi

Rappresentazione dei numeri complessi come somma di parte reale e parte immaginaria; il piano di Argand-Gauss.


1. Rappresentazione

Dalle considerazioni prese in Operazioni sui Numeri Complessi possiamo fare le seguente considerazioni per poter rappresentare un numero complesso in un modo alternativo.

DEF 1.1. Prendendo un numero complesso di forma , definiamo le seguenti.

  1. 𝟙 il numero complesso di forma
  2. il numeri complesso di forma

Se li moltiplichiamo per se stessi otteniamo:

  1. 𝟙𝟙𝟙
  2. 𝟙
    Allora si può affermare che è la soluzione dell'equazione .

CONCLUSIONE.
Allora posso scrivere il numero complesso come il seguente: DEF 2.2. Il numero si dice la parte reale e viene definita come , il numero ( )si dice la parte immaginaria.

2. Piano di Argand-Gauss

Se prendiamo il piano cartesiano applicando le regole definite per , allora otterremo il piano di Gauss (oppure di Argand-Gauss), dove ogni punto del piano è un numero complesso.
Eccovi un esempio grafico:
Pasted image 20231022151201.png

Infatti, geometricamente un punto può rappresentare un vettore geometrico (Vettori Liberi) con punto di applicazione .
Chiamiamo un punto del piano come , che può essere scritto come

3. Esercizi

Considerando le Operazioni sui Numeri Complessi e questa rappresentazione di un numero complesso , si propongono alcuni esercizi:
ESERCIZIO 3.1. Calcola ESERCIZIO 3.2. Calcola ESERCIZIO 3.3. Calcola ESERCIZIO 3.4. Calcola

D. Rappresentazione trigonometrica dei C

Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi
Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi

Rappresentazione dei numeri complessi come un associato a modulo e argomento; argomento come la classe di equivalenza dell'argomento principale; nuova interpretazione della moltiplicazione; esempi; Formula di De Moivre.


1. Rappresentazione trigonometrica

Oltre alla rappresentazione "algebrica" dei numeri complessi (Rappresentazione dei Numeri Complessi), è possibile anche considerare un'altra rappresentazione che fa uso delle Funzioni trigonometriche.

NOZIONE. Prendiamo un , che geometricamente vuol dire
Pasted image 20231022151510.png
Allora secondo le definizioni del seno e del coseno (Funzioni trigonometriche, DEF 1.) possiamo considerare dove rappresenta il modulo di . (Operazioni sui Numeri Complessi, DEF 4.)
Dunque e lo si può scrivere come che si legge come " lo rappresento come ".

DEF 1. Quindi definisco le due componenti che sono associate a :

  • Modulo come , che d'ora in poi verrà genericamente chiamato come . Ovviamente può essere solo maggiore o uguale a .
  • Argomento come l'angolo ;
    • Dai risultati della trigonometria, sarebbe meglio considerare l'argomento principale come la classe di equivalenza dove . Qui si parla della congruenza modulo (Relazioni, ESEMPIO 3.2); questo in quanto rappresenterebbe un giro intero, quindi . Allora

OSS 1.1. Inoltre possiamo definire l'applicazione ed è biiettiva. Non si considera lo in quanto questo può creare dei problemi; infatti a può essere associato qualsiasi angolo, rendendo questa applicazione una non funzione.

1.1. Esempi

ESEMPIO 1.1.a. Prendendo , voglio trovare la sua rappresentazione trigonometrica.
Innanzitutto trovo il suo modulo che per definizione è .
Dopodiché trovo il suo argomento. Per farlo bisogna considerare la geometria elementare, nel senso che se abbiamo un triangolo del tipo
Pasted image 20231022151531.png
allora chiaramente si evince che l'angolo è .

ESEMPIO 1.1.b. ; allora chiaramente

ESEMPIO 1.1.c.

1.2. Interpretazione della moltiplicazione

OSS 1.2. Si osserva che secondo la forma trigonometrica possiamo interpretare la moltiplicazione tra due numeri complessi nel modo seguente:
Allora è uguale a
poi raccogliamo per i termini dovuti, e qui identifichiamo le forme di addizione e sottrazione del seno e del coseno (Funzioni trigonometriche, SEZIONE 2.3.). Allora abbiamo infine Quindi secondo questa interpretazione abbiamo che i moduli si moltiplicano e gli angoli si sommano. Ovvero:

2. Formula di de Moivre

TEOREMA 2. Sia ; quindi .
Allora

2.1. Esempi

Alcuni esempi in cui si applica la formula di de Moivre.

3. Le radici di un numero complesso

Consideriamo un caso fondamentale del teorema fondamentale dell'algebra, ovvero le radici dell'unità.

PROBLEMA 3. Dato un numero , voglio trovare tutti i numeri tali che OSS 3.1. Vediamo cosa succede in , ovvero se . Allora devo trovare tutti i numeri tali che Se restringo ulteriormente il nostro insieme di considerazione a , allora posso considerare la funzione potenza -esima (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto, DEF 1.1.).
Osservando di nuovo il grafico di potenza, Pasted image 20231017172817.png
Si nota subito che ha un'unica soluzione in ; ovvero .
Ora se consideriamo pure i numeri negativi, allora:

  • per pari, ha anche una soluzione secondaria .
  • per dispari, ha come soluzione solo .

OSS 3.2.
Invece su ci sono esattamente soluzioni. DIM. Consideriamo la forma trigonometrica di e , ovvero e secondo l'equazione voglio che quindi deve essere vera la seguente: Da un punto di vista geometrico, questo vuol dire che non voglio avere né spirali che vanno fuori () né quelli che vanno all'interno ().
Inoltre deve valere cioè allora ora iniziamo a fissare dei valori di , a partire da . Allora Notiamo che da (ovvero dalla -esima soluzione) in poi otteniamo elementi che appartengono alle classi equivalenza di soluzioni già trovate: ovvero non vanno considerate, in quanto le loro classi di equivalenza sono uguali. Quindi le radici dell'unità sono: Allora vediamo che ci sono soluzioni; generalizzando da qui discende il teorema fondamentale dell'algebra.

3.1. Esempio

ESEMPIO 3.1. Trovare tutte le soluzioni tali che Considerando ciò detto prima, ho le soluzioni Graficamente posso prendere il piano di Argand-Gauss (Rappresentazione dei Numeri Complessi), prendere un cerchio con , dividere i due semicerchi in 5 parti, poi prendere il secondo, quarto, sesto e ottavo punto della sezione; infine se li collego ottengo un pentagono.
Pasted image 20231022151553.png

3.2. Teorema fondamentale dell'algebra

TEOREMA 3.2.
Siano dei numeri tali che: e considerando l'equazione allora questa ha esattamente soluzioni in .

OSS 3.2.1. Allora possiamo riscrivere l'equazione come con . Notiamo che tutte le soluzioni appartengono al campo dei numeri complessi; per questo si dice che è un campo chiuso.

4. (EXTRA) L'insieme di Mandelbrot

PROBLEMA 4. Considero il piano di Argand-Gauss e ; adesso considero una successione (Assiomi di Peano, il principio di induzione, DEF 4.2.1.) di punti su , ovvero Quindi scelgo un punto , a cui applico la successione .
Adesso distinguo i punti di partenza in due famiglie principali:

  1. I punti di partenza che rimangono in un insieme limitato (ovvero un raggio di palla) dopo un numero di iterazioni
  2. I punti di partenza dei quali moduli vanno all'infinito
    Graficamente posso colorare i punti della prima famiglia di colore nero, i secondi di colore bianco.
    Tramite gli strumenti dell'informatica posso usare un pixel per rappresentare un punto c, poi di eseguire un numero preciso di iterazioni (come ) e infine di colorare i pixel a seconda del suo comportamento.
    Così otteniamo il cosiddetto frattale di Mandelbrot.
    1280px-Mandelset_hires.png