data: 2023-10-16
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Numeri Complessi - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"A. Introduzione
Tutto sui numeri complessi
data: 2023-10-16
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Introduzione ai Numeri Complessi
tipologia: appunti
stato: "1"Introduzione ai numeri complessi: cenni storici, definizione basilare di
Lo scopo storico dei numeri complessi
Quindi vi è una necessità di "ampliare" i numeri reali in un modo tale da poter ottenere delle soluzioni di queste equazioni.
Pertanto si parte considerando la l'insieme delle coppie ordinate (Coppie Ordinate e Prodotto CartesianoCoppie Ordinate e Prodotto Cartesiano)
In Operazioni sui Numeri ComplessiOperazioni sui Numeri Complessi definiremo delle operazioni su questo insieme,, che quando li considereremo con
data: 2023-10-16
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Operazioni sui Numeri Complessi
tipologia: appunti
stato: "1"Tutte le operazioni possibili sui numeri complessi: somma componente per componente, moltiplicazione, campo
DEF 1. Definisco su
PROP 1.1. La somma componente per componente gode delle seguenti proprietà:
OSS 1.1. Allora in questo caso si definisce
Ora l'operazione più "peculiare" sarebbe quella di moltiplicazione, in quanto grazie a questa riusciamo a formare il campo dei numeri complessi
DEF 2. Sia
NOTA. Come visto sopra, personalmente (avvolte) userò la notazione
OSS 2.1. Notiamo che questa definizione di moltiplicazione non è quella che ci si aspetta, di solito; infatti volendo si poteva anche definire la moltiplicazione nel seguente modo:
Ad esempio, qui non varrebbe la proprietà per cui
TRUCCO PERSONALE. Visto che potrebbe essere difficile imparare questa definizione di moltiplicazione, possiamo "anticipare" un argomento (ovvero Rappresentazione dei Numeri ComplessiRappresentazione dei Numeri Complessi) rappresentando la coppia
PROP 2.1. Si può verificare che questa operazione gode delle proprietà, ovvero:
CONCLUSIONE.
Alla luce di queste proprietà riusciamo proprio a verificare che
OSS 2.2. Nel campo
Allora notiamo che valgono le seguenti:
OSS 2.3. Inoltre, considerando
DEF 3. Sia
PROP 3.1. Questa funzione ha delle proprietà; presentiamo la prima.
DIMOSTRAZIONE. Analiticamente è possibile dimostrare la tesi nel modo seguente.
PROP 3.2.
PROP 3.3.
Se prendiamo il piano di Argand-Gauss (Rappresentazione dei Numeri ComplessiRappresentazione dei Numeri Complessi) possiamo vedere dei punti nel piano, allora si potrebbe "misurare" la distanza di questo punto dall'origine
DEF 4. Allora definiamo la il modulo di
DEF 4.1. Allora definisco la funzione
OSS 4.1. Notiamo che se
Ora presentiamo alcune proprietà del modulo.
PROP 4.1. Per definizione,
PROP 4.3.
PROP 4.4.
PROP 4.5.
PROP 4.7. La disuguaglianza triangolare.
Infine presentiamo la proprietà fondamentale del modulo.
Però in questo contesto (ovvero del campo
Ovvero che la somma della lunghezza due cateti di un triangolo rettangolo è sempre più lunga della lunghezza dell'ipotenusa.
DIMOSTRAZIONE.
Considero i seguenti: siano
data: 2023-10-16
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Rappresentazione dei Numeri Complessi
tipologia: appunti
stato: "1"Rappresentazione dei numeri complessi come somma di parte reale e parte immaginaria; il piano di Argand-Gauss.
Dalle considerazioni prese in Operazioni sui Numeri ComplessiOperazioni sui Numeri Complessi possiamo fare le seguente considerazioni per poter rappresentare un numero complesso in un modo alternativo.
DEF 1.1. Prendendo un numero complesso di forma
Se li moltiplichiamo per se stessi otteniamo:
CONCLUSIONE.
Allora posso scrivere il numero complesso
Se prendiamo il piano cartesiano
Eccovi un esempio grafico:
Infatti, geometricamente un punto
Chiamiamo un punto del piano come
Considerando le Operazioni sui Numeri ComplessiOperazioni sui Numeri Complessi e questa rappresentazione di un numero complesso
ESERCIZIO 3.1. Calcola
data: 2023-10-16
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi
tipologia: appunti
stato: "1"Rappresentazione dei numeri complessi come un
Oltre alla rappresentazione "algebrica" dei numeri complessi
NOZIONE. Prendiamo un
Allora secondo le definizioni del seno e del coseno (Funzioni trigonometricheFunzioni trigonometriche, DEF 1.) possiamo considerare
Dunque
DEF 1. Quindi definisco le due componenti che sono associate a
OSS 1.1. Inoltre possiamo definire l'applicazione
ESEMPIO 1.1.a. Prendendo
Innanzitutto trovo il suo modulo
Dopodiché trovo il suo argomento. Per farlo bisogna considerare la geometria elementare, nel senso che se abbiamo un triangolo del tipo
allora chiaramente si evince che l'angolo
ESEMPIO 1.1.b.
ESEMPIO 1.1.c.
OSS 1.2. Si osserva che secondo la forma trigonometrica possiamo interpretare la moltiplicazione tra due numeri complessi nel modo seguente:
TEOREMA 2. Sia
Allora
Alcuni esempi in cui si applica la formula di de Moivre.
Consideriamo un caso fondamentale del teorema fondamentale dell'algebra, ovvero le radici dell'unità.
PROBLEMA 3. Dato un numero
Osservando di nuovo il grafico di potenza,
Si nota subito che
Ora se consideriamo pure i numeri negativi, allora:
OSS 3.2.
Invece su
Inoltre deve valere
ESEMPIO 3.1. Trovare tutte le soluzioni
TEOREMA 3.2.
Siano
OSS 3.2.1. Allora possiamo riscrivere l'equazione come
PROBLEMA 4. Considero il piano di Argand-Gauss e
Adesso distinguo i punti di partenza